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Como Finalizar o Ano com Sucesso e Evitar Surpresas Tributárias em 2025: A Importância da Contabilidade
escrito em 30 de novembro de 2024

A reta final do ano é um momento estratégico para empresas de todos os portes. Além do fechamento contábil e financeiro, essa é a hora de planejar ações que garantam uma transição tranquila para o próximo exercício fiscal. A contabilidade desempenha um papel essencial para evitar erros que podem resultar em tributos adicionais ou multas inesperadas em 2025.

Confira, neste artigo, como uma gestão contábil eficiente pode ajudar sua empresa a encerrar o ano com sucesso e começar o próximo com equilíbrio fiscal.

Por Que o Fechamento Contábil é Essencial?

O fechamento contábil vai além de simples formalidades: ele reflete a saúde financeira da empresa e serve como base para decisões estratégicas. Ignorar ou adiar essa etapa pode trazer implicações sérias, especialmente relacionadas à apuração de tributos e ao cumprimento de obrigações fiscais.

Impactos de um Fechamento Bem Planejado:

  1. Correção de Inconsistências: Revisar lançamentos contábeis evita erros que podem impactar a apuração de impostos.
  2. Aproveitamento de Benefícios Fiscais: Um planejamento adequado permite identificar créditos tributários e incentivos fiscais antes do encerramento do ano.
  3. Projeção para 2025: Com relatórios precisos, é possível ajustar metas e estratégias fiscais para o próximo exercício.

Dicas para Finalizar o Ano com Sucesso na Contabilidade

  1. Organize Documentos e Registros

Certifique-se de que todos os documentos fiscais, como notas fiscais, contratos e comprovantes, estejam organizados e devidamente lançados. Essa etapa é crucial para evitar divergências entre contabilidade e Receita Federal.

  1. Antecipe a Apuração de Tributos

Realizar uma apuração antecipada dos tributos permite identificar possíveis ajustes e evitar pagamentos a maior ou multas por erros.

  1. Reavalie o Regime Tributário

A escolha do regime tributário impacta diretamente a carga fiscal. Um estudo no final do ano pode revelar se o Simples Nacional, o Lucro Presumido ou o Lucro Real será mais vantajoso para 2025.

  1. Faça o Balanço Patrimonial e DRE

Os demonstrativos contábeis, como o Balanço Patrimonial e a Demonstração de Resultados do Exercício (DRE), são obrigatórios para muitas empresas e servem de base para a declaração de impostos.

  1. Revise Obrigações Acessórias

As empresas devem estar em dia com obrigações como ECD, ECF e SPED Fiscal. A revisão no final do ano evita multas por descumprimento de prazos ou inconsistências.

Como Evitar Impostos Inesperados em 2025

A contabilidade preventiva é a chave para não levar dívidas tributárias para o próximo ano. Veja como isso pode ser feito:

  1. Aproveitamento de Créditos Tributários: Identifique e registre corretamente créditos de ICMS, PIS e Cofins.
  2. Planejamento de Despesas Dedutíveis: Antecipe despesas que possam ser deduzidas, reduzindo a base de cálculo dos tributos.
  3. Provisão para Pagamento de Impostos: Garanta que os recursos necessários para quitação de tributos estejam provisionados.
  4. Revisão de Contratos e Pagamentos: Verifique retenções na fonte e certifique-se de que todos os impostos já pagos estão devidamente contabilizados.

Por Que Contar com a Pigatti para o Fechamento do Ano Fiscal?

A equipe da Pigatti combina expertise em contabilidade e tributação para oferecer soluções que vão além do cumprimento das obrigações fiscais. Nossa abordagem inclui:

  • Análise personalizada do seu negócio: Identificamos oportunidades de economia tributária e ajustamos processos para otimizar resultados.
  • Atualização constante: Estamos preparados para lidar com mudanças legislativas e regulatórias, garantindo que sua empresa esteja em conformidade com as normas atuais.
  • Gestão integrada: Nosso suporte cobre desde o planejamento financeiro até a entrega de todas as obrigações acessórias.

Finalizar o ano com sucesso depende de um planejamento contábil estratégico. Além de evitar tributos inesperados em 2025, uma boa gestão fiscal garante segurança para que sua empresa possa crescer de forma sustentável.

Não deixe para última hora! Entre em contato com a Pigatti e descubra como podemos ajudar sua empresa a encerrar o ano no azul e começar o próximo com o pé direito.

 

ESCRITO POR:  Equipe de Redação da Pigatti

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Version 1. Published on the Internet; http://www.theplantlist.org/ (consultado em 31 de outubro de 2014).\n* ''[http://www.ipni.org/ipni/advPlantNameSearch.do?find_genus=Galium&find_species=productum&find_rankToReturn=spec Galium productum]'' - International Plant Names Index\n* Castroviejo, S. (coord. gen.). 1986-2012. ''[http://www.floraiberica.es/ Flora iberica]'' 1-8, 10-15, 17-18, 21. 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Physiker und Elektrotechniker, * 23.11.1843 Bern, \u2020 6.7.1909 Berlin (Unfall). (evangelisch)}}\n\nEm 1873 foi o primeiro f\u00edsico a ser contratado pela [[Siemens AG|Siemens]], a fim de investigar o [[magnetismo]].{{Link|de|2=http://www.siemens.com/innovation/de/publikationen/zeitschriften_pictures_of_the_future/pof_herbst_2005/corporate_technology/energietechnik.htm|3=Energiequelle Siemens}}\n\n==Publica\u00e7\u00f5es==\n*''Die dynamoelektrische Maschine. Eine physikalische Beschreibung f\u00fcr den technischen Gebrauch''; Springer, 1886\n*''Stand und Zukunft der Acetylenbeleuchtung'' (com H. Herzfeld; Im Auftrag des Calciumcarbid- und Acetylengasvereins) Springer, 1898\n*''Ueber die bei der Einwirkung von Stickoxydgas auf Brom entstehenden Producte''http://www3.interscience.wiley.com/journal/112316889/abstract?CRETRY=1&SRETRY=0{{Liga\u00e7\u00e3o inativa|1={{subst:DATA}} }}\n*''Die Lehre von der Elektrizit\u00e4t und dem Magnetismus mit besonderer Ber\u00fccksichtigung ihrer Beziehungen zur Telegraphie.'' Julius Springer, Berlin 1878 ([http://www.archive.org/details/handbuchderelek00zetzgoog online]) ([[Karl Eduard Zetzsche]]: ''Handbuch der elektrischen Telegraphie.'' Bd. 2).\n\n{{Refer\u00eancias}}\n\n==Bibliografia==\n*{{NDB|5|653|653|Fr\u00f6lich, Emil Adolf Oskar|[[Friedrich Spand\u00f6ck]]|117538531}}\n\n{{Esbo\u00e7o-engenheiro}}\n\n{{Normdaten|TYP=p|GND=117538531|LCCN=n/87/119539|VIAF=77096199}}\n\n{{DEFAULTSORT:Frolich, Oskar}}\n[[Categoria:Engenheiros da Su\u00ed\u00e7a]]\n[[Categoria:Naturais de Berna]]"}]},"7281932":{"pageid":7281932,"ns":0,"title":"Valentine Road","revisions":[{"contentformat":"text/x-wiki","contentmodel":"wikitext","*":"{{Info/Filme\n |nome = Valentine Road\n |t\u00edtulo-prt = {{semtitprt}} \n |t\u00edtulo-bra = Valentine Road: O Assassinato de Lawrence King\n |imagem = Valentine Road - poster.jpg\n |imagem_tamanho = 230px\n |pa\u00eds = {{USA}}\n |ano = 2013\n |cor-pb = cor\n |dura\u00e7\u00e3o = \n |dire\u00e7\u00e3o = Marta Cunningham\n |produ\u00e7\u00e3o = \n |produ\u00e7\u00e3o executiva = \n |narra\u00e7\u00e3o = \n |elenco = \n |g\u00eanero = [[document\u00e1rio]]\n |tipo = LD\n |idioma = [[l\u00edngua inglesa|ingl\u00eas]]\n |m\u00fasica = \n |cinematografia = \n |edi\u00e7\u00e3o = \n |produtora = \n |distribui\u00e7\u00e3o = \n |lan\u00e7amento = {{data do filme|2013|1||[[Festival Sundance de Cinema|Sundance]]}}{{cite web|url=https://archive.sltrib.com/article.php?id=55643713&itype=storyID|title=Sundance: Filmmakers seek truth behind headlines on 'Valentine Road'|access-date=14 May 2020|work=The Salt Lake Tribune}}{{Citar web|ultimo=Staff|primeiro=IndieWire|url=https://www.indiewire.com/news/general-news/meet-the-2013-sundance-filmmakers-46-marta-cunningham-explores-a-complicated-killing-in-valentine-road-41833/|titulo=Meet the 2013 Sundance Filmmakers #46: Marta Cunningham Explores a Complicated Killing in \u2018Valentine Road\u2019|data=2013-01-22|acessodata=2024-01-11|website=IndieWire|lingua=en-US}}\n}}'''''Valentine Road''''' {{titbra|Valentine Road: O Assassinato de Lawrence King{{Citation|title=Valentine Road: O Assassinato de Lawrence King|url=https://www.adorocinema.com/filmes/filme-217342/|accessdate=2024-01-28|language=pt-BR|last=AdoroCinema}}}} \u00e9 um [[document\u00e1rio]] da diretora Marta Cunningham. Em 2008, Cunningham leu um artigo do [[Southern Poverty Law Center]] sobre o assassinato de um jovem de 15 anos assumidamente [[gay]] e n\u00e3o-conformista, [[Assassinato de Larry King|Lawrence King]]. Ele foi baleado e morto em sua sala de aula do ensino m\u00e9dio pelo colega Brandon McInerney, de 14 anos.\n\nInvestigando o caso, Cunningham sentiu-se compelida a desafiar o que considerava uma representa\u00e7\u00e3o [[Homofobia|homof\u00f3bica]] de King na grande m\u00eddia. Ela come\u00e7ou a comparecer \u00e0s peti\u00e7\u00f5es e audi\u00eancias pr\u00e9-julgamento de McInerney. \u201cQuanto mais ela analisava o caso, mais ela descobria uma teia de complica\u00e7\u00f5es e nuances que simplesmente n\u00e3o eram ouvidas de forma justa pela m\u00eddia, muito menos pelos tribunais\u201d.{{Citar web|ultimo=Knott|primeiro=Matthew Hammett|url=https://www.indiewire.com/features/general/heroines-of-cinema-marta-cunningham-explains-the-valentines-tragedy-that-turned-her-into-a-filmmaker-30289/|titulo=Heroines of Cinema: Marta Cunningham Explains The Valentine\u2019s Tragedy That Turned Her Into a Filmmaker|data=2014-02-06|acessodata=2024-01-11|website=IndieWire|lingua=en-US}}\n\nIncorporando-se na cidade de [[Oxnard]], Cunningham passou cinco anos desenvolvendo a confian\u00e7a da comunidade e acumulando mais de 350 horas de filmagem. O resultado foi um document\u00e1rio de 89 minutos descrito pelo ''[[Los Angeles Times]]'' como um filme onde: \"Cunningham tece magistralmente uma esp\u00e9cie de colcha memorial cinematogr\u00e1fica para King, que, pouco antes de sua morte, estava morando em uma casa coletiva/centro de tratamento distante de seus pais adotivos. [...] Imagens de not\u00edcias de arquivo, v\u00eddeos de vigil\u00e2ncia da escola e representa\u00e7\u00f5es de tribunais completam este lembrete poderoso e comovente do garoto ousado e travestido com uma paix\u00e3o perdida que muitas vezes foi considerada a causa de seu pr\u00f3prio assassinato.\"{{Citar web|url=https://www.latimes.com/entertainment/movies/moviesnow/la-et-mn-valentine-road-review-20131004-story.html|titulo=Review: Murder of gay teen memorialized in 'Valentine Road'|data=2013-10-03|acessodata=2024-01-11|website=Los Angeles Times|lingua=en-US}}\n\nA [[HBO]] exibiu o document\u00e1rio no in\u00edcio da temporada de outono de 2013. Como resultado, ''Valentine Road'' foi indicado ao [[Emmy Award|Emmy]] nas categorias Melhor Document\u00e1rio e Melhor Narrativa Longform no 35\u00ba Pr\u00eamio Emmy Anual de Not\u00edcias e Document\u00e1rios.{{Citar web|url=https://realscreen.com/2014/07/15/invisible-war-plague-among-doc-emmy-nominees/|titulo=\u201cInvisible War,\u201d \u201cPlague\u201d among News & Doc Emmy nominees|acessodata=2024-01-11}}\n\nO ''[[USA Today]]'' elogiou o filme como: \"Assombroso, sincero e imparcial\" recomendou que: \"''Valentine Road'' deveria ser visto obrigatoriamente no ensino de toler\u00e2ncia nos campi do ensino fundamental e m\u00e9dio.\"{{Citar web|ultimo=Puig|primeiro=Claudia|url=https://www.usatoday.com/story/life/tv/2013/10/07/valentine-road-review/2930913/|titulo='Valentine Road' is paved with tragedy|acessodata=2024-01-11|website=USA TODAY|lingua=en-US}}\n\n{{Esbo\u00e7o-LGBT}}\n{{Refer\u00eancias}}\n\n{{Portal3|Cinema|Estados Unidos|LGBT}}\n{{Controle de autoridade}}\n\n{{DEFAULTSORT:Valentine Road 2013}}\n[[Categoria:Document\u00e1rios de 2013]]\n[[Categoria:Document\u00e1rios com tem\u00e1tica LGBT dos Estados Unidos]]\n[[Categoria:Document\u00e1rios sobre homofobia]]\n[[Categoria:Filmes com tem\u00e1tica LGBT de 2013]]\n[[Categoria:Programas da HBO]]\n[[Categoria:Filmes em l\u00edngua inglesa]]"}]},"5399563":{"pageid":5399563,"ns":0,"title":"Monte Albert Edward","revisions":[{"contentformat":"text/x-wiki","contentmodel":"wikitext","*":"\n[[ficheiro:Mount Albert Edward PNG Cross.jpg|thumb|Cruz no topo do monte.]]\n'''Monte Albert Edward''' \u00e9 uma montanha de 3.990 metros de altura na Cordilheira Wharton na Prov\u00edncia Central na [[Papua Nova Guin\u00e9]]. A montanha \u00e9 constitu\u00edda por dois picos de cerca de 400 metros de dist\u00e2ncia, uma cruz marca o topo do pico ocidental ligeiramente superior e uma esta\u00e7\u00e3o de trigais marca o pico oriental. Se localiza a cerca de 120 km ao norte de Port Moresby. {{citar livro|primeiro =Riall W. |\u00faltimo =Nolan |t\u00edtulo=Bushwalking in Papua New Guinea |publicado=[[Lonely Planet]] |edi\u00e7\u00e3o=1 |ano=1983 |p\u00e1ginas=87\u201397 |isbn=0-908086-41-5}}\n\n\nA primeira subida registrada foi em 1906 por C A W Monckton. Houve outras subidas no in\u00edcio do s\u00e9culo 20, mas o primeiro relato detalhado foi feito em 1935 ap\u00f3s uma subida de Richard Archbold e Austin L. Rand em 1933.\n\n{{refer\u00eancias}}\n\n{{Esbo\u00e7o}}\n\n[[Categoria:Montanhas da Papua-Nova Guin\u00e9]]"}]},"5103368":{"pageid":5103368,"ns":0,"title":"The Craigslist Killer","revisions":[{"contentformat":"text/x-wiki","contentmodel":"wikitext","*":"{{Uma-fonte|data=fevereiro de 2021}}\n{{Fontes prim\u00e1rias|data=fevereiro de 2021}}\n'''''The Craigslist Killer''''' \u00e9 um filme americano dirigido por [[Stephen Kay]] e lan\u00e7ado em 3 de janeiro de 2011 na Lifetime.[http://www.mylifetime.com/movies/the-craigslist-killer sobre o filme]\n\n{{refer\u00eancias}}\n\n{{DEFAULTSORT:Craiglist Killer}}\n\n{{Esbo\u00e7o-filme}}\n[[Categoria:Filmes dos Estados Unidos de 2011]]\n[[Categoria:Filmes em l\u00edngua inglesa]]\n{{sem infocaixa}}\n\n{{T\u00edtulo em it\u00e1lico}}"}]},"3036991":{"pageid":3036991,"ns":0,"title":"(37154) 2000 VZ58","revisions":[{"contentformat":"text/x-wiki","contentmodel":"wikitext","*":"{{Info/Asteroide\n|numero = 37154\n|nome = 2000 VZ58\n|imagem =\n|data_descoberta = 8 de novembro de 2000\n|descobridor = [[William Kwong Yu Yeung]]\n|homenagem =\n|categoria = [[Cintura de asteroides|asteroide da cintura principal]]\n|semieixo_maior = 2.3987932\n|perelio =\n|afelio =\n|excentricidade = 0.11996960\n|T_orb_dia =\n|T_orb_ano =\n|V_orb_media =\n|inclinacao = 13.91748\n|anomalia_media = 31.0697500\n|arg_periastro = 162.69728\n|long_no_asc = 88.46767\n|dimens\u00e3o =\n|massa =\n|densidade =\n|gravidade =\n|V_escape =\n|T_rotacao =\n|distancia_sol =\n|classe_espectro =\n|magnitude_abs = 14,30\n|albedo =\n|temp_media_C =\n|satelites =\n}}\n'''2000 VZ58''' (asteroide 37154) \u00e9 um [[Cintura de asteroides|asteroide da cintura principal]]. Possui uma [[excentricidade orbital|excentricidade]] de 0.11996960 e uma [[inclina\u00e7\u00e3o]] de 13.91748\u00ba.{{citar web|url=http://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb.cgi?sstr=37154|t\u00edtulo=37154 2000 VZ58|autor=|data=|publicado=NASA|acessodata=23 de dezembro de 2013|l\u00edngua=en}}\n\nEste [[asteroide]] foi descoberto no dia 8 de novembro de 2000 por [[William Kwong Yu Yeung]] em [[Desert Beaver]].\n\n== Ver tamb\u00e9m ==\n{{portal|Astronomia}}\n* [[Lista de asteroides]]\n* [[Cintura de asteroides|Asteroide da cintura principal]]\n\n== Refer\u00eancias ==\n{{reflist}}\n\n== Liga\u00e7\u00f5es externas ==\n{{LinksAsteroide|37154}}\n\n\n\n{{Esbo\u00e7o-asteroide}}\n\n{{Controle de autoridade}}\n\n{{DEFAULTSORT:37154 2000 Vz58}}\n[[Categoria:Asteroides da cintura principal]]\n[[Categoria:Objetos astron\u00f4micos descobertos em 2000]]"}],"images":[{"ns":6,"title":"Ficheiro:951 Gaspra.jpg"}]},"1468514":{"pageid":1468514,"ns":0,"title":"\u00c4lmhult (comuna)","revisions":[{"contentformat":"text/x-wiki","contentmodel":"wikitext","*":"{{Info/Assentamento/Su\u00e9cia|comuna\n|nome = \u00c4lmhult\n|imagens_tamanho= 300px\n|imagem = \u00c4lmhult Municipality in Kronoberg County.png\n|mapa_alfinete = Su\u00e9cia\n|imagem_escudo = \u00c4lmhult vapen.svg\n|regi\u00e3o = [[Gotal\u00e2ndia]]\n|prov\u00edncia = [[Esmol\u00e2ndia]]\n|condado = [[Cronoberga]]\n|capital = [[\u00c4lmhult]]\n|\u00e1rea_total_km2 = 891\n|popula\u00e7\u00e3o_total= 17568\n|popula\u00e7\u00e3o_em = 2018\n|s\u00edtio = {{URL|http://www.almhult.se}}\n}}\n'''\u00c4lmhult''' ({{langx|sv|''\u00c4lmhults kommun''}}) \u00e9 uma [[comuna sueca|comuna]] da [[Su\u00e9cia]] localizada no [[condados da Su\u00e9cia|condado]] de [[Cronoberga]]. Sua [[capital]] \u00e9 a [[lista de cidades na Su\u00e9cia|cidade]] de [[\u00c4lmhult]]. Possui 891 quil\u00f4metros quadrados e segundo censo de 2018, havia {{fmtn|17568}} habitantes.{{sfn|CP|2018}} O bot\u00e2nico [[Carlos Lineu]] nasceu em [[R\u00e5shult]], Stenbrohult, hoje parte da comuna.{{sfn|Almhult|2019}}\n\n{{refer\u00eancias|col=2}}\n\n== Bibliografia ==\n\n{{In\u00edcioRef|2}}\n\n* {{citar web|ref={{harvid|Almhult|2019}}|ano=2019|url=http://www.almhult.se/visitalmhult/sv/upplev/linnesrashult.4.5024e85e1540189bf671456.html|t\u00edtulo= Linn\u00e9s R\u00e5shult |publicado=visitalmhult.se (P\u00e1gina oficial do Gabinete de Turismo de \u00c4lmhult)|l\u00edngua=sueco, ingl\u00eas}}\n\n* {{Citar web|ref={{harvid|CP|2018}}|ano=2018|url=https://www.citypopulation.de/php/sweden-kronoberg.php?adm2id=0765|t\u00edtulo=\u00c4lmhult|publicado= City Population }}\n\n{{-fim}}\n\n{{Comunas de Cronoberga}}\n{{Su\u00e9cia/Comunas}}\n\n{{Portal3|Su\u00e9cia}}\n\n{{DEFAULTSORT:Almhult (Comuna)}}\n[[Categoria:Comunas de Cronoberga (condado)]]"}],"images":[{"ns":6,"title":"Ficheiro:Flag of Sweden.svg"},{"ns":6,"title":"Ficheiro:Sweden flag waving icon.svg"},{"ns":6,"title":"Ficheiro:\u00c4lmhult Municipality in Kronoberg County.png"},{"ns":6,"title":"Ficheiro:\u00c4lmhult vapen.svg"}]},"1139194":{"pageid":1139194,"ns":0,"title":"Selos de Mo\u00e7ambique","revisions":[{"contentformat":"text/x-wiki","contentmodel":"wikitext","*":"{{Sem fontes|data=agosto de 2020}}\nA categoria '''Selos de Mo\u00e7ambique''' inclui os selos emitidos em [[Mo\u00e7ambique]] para circula\u00e7\u00e3o no pa\u00eds, a partir da independ\u00eancia, em 1975.\n\n== Selos de Mo\u00e7ambique ==\n'''[[Emiss\u00e3o comemorativa|Emiss\u00f5es comemorativas]]'''\n* [[Selos de Mo\u00e7ambique - 1975-1989|1975-1989]]\n* [[Selos de Mo\u00e7ambique - 1990-1999|1990-1999]]\n* [[Selos de Mo\u00e7ambique - 2000-2009|2000-2009]]\n\n'''[[Emiss\u00e3o base|Emiss\u00f5es base]]'''\n* [[Selos de Mo\u00e7ambique - Emiss\u00f5es base|Emiss\u00f5es base]]\n\n'''Outras emiss\u00f5es'''\n* [[Selos de Mo\u00e7ambique - Blocos|Blocos]]\n* [[Selos de Mo\u00e7ambique - Etiquetas|Etiquetas]]\n* [[Selos de Mo\u00e7ambique - Vinhetas|Vinhetas]]\n\n'''Outros'''\n* [[Selos de Mo\u00e7ambique - Reimpress\u00f5es|Reimpress\u00f5es]]\n* [[Selos de Mo\u00e7ambique - Provas|Provas]]\n* [[Selos de Mo\u00e7ambique - Erros|Erros]]\n* [[Selos de Mo\u00e7ambique - Falsos|Falsos]]\n\n== Ver tamb\u00e9m ==\n* [[Filatelia]]\n\n== Liga\u00e7\u00f5es externas ==\n* {{Link||2=http://www.xirico.com/c_htm/tri/temas.php?a=7 |3=Selos de Mo\u00e7ambique (1940-1975)}}\n\n{{Portal3|Filatelia|Mo\u00e7ambique}}\n\n{{DEFAULTSORT:Selos Mocambique}}\n[[Categoria:Selos de Mo\u00e7ambique| ]]"}],"images":[{"ns":6,"title":"Ficheiro:Flag of Mozambique.svg"},{"ns":6,"title":"Ficheiro:Question book.svg"},{"ns":6,"title":"Ficheiro:Stamp UK Penny Red pl148.jpg"}]},"3849795":{"pageid":3849795,"ns":0,"title":"Luigi Fenaroli","revisions":[{"contentformat":"text/x-wiki","contentmodel":"wikitext","*":"{{sem notas|data=abril de 2016}}\n{{Wikifica\u00e7\u00e3o|data=abril de 2016}}\n{{Reciclagem|data=abril de 2016}}\n[[Image:Fenaroli.jpg|thumb|Luigi Fenaroli]]\n'''Luigi Fenaroli''' (16 de Maio de 1899 - 8 de Maio de 1980) foi um [[Bot\u00e2nica|bot\u00e2nico]] e agr\u00f3nomo [[Italianos|italiano]].\n\n== Biografia ==\n\nLuigi Fenaroli ([[Mil\u00e3o]], [[Italia]], [[16 de maio]] de [[1899]] - [[Bergamo]], [[Italia]], [[08 de maio]] de [[1980]]) formou-se nas Ci\u00eancias Agr\u00e1rias na \"Scuola Superiore di agricoltura\" da \"Universit\u00e0 degli studi di Milano\" em [[1921]].\n\nEm sua juventude realizou alguns expedi\u00e7\u00f5es cient\u00edficas ultramarinas pela \"Reale Societ\u00e0 Italiana geogr\u00e1fica\": esteve na [[Angola]] em [[1930]] e na [[Amaz\u00f4nia]] brasileira entre [[1932]] e [[1933]].\n\nEm [[1933]] foi nomeado vice-diretor da Esta\u00e7\u00e3o Experimental da Silvicultura de [[Floren\u00e7a]]. Em [[1943]] mudou-se a [[Casale Monferrato]] para dirigir o \u201cInstituto de cultivo experimental do \u00e1lamo\u201d. Em [[1946]] tornou-se diretor da \u201cEsta\u00e7\u00e3o experimental do cultivo do [[milho]]\u201d de [[Bergamo]], depois do famoso [[agr\u00f4nomo]] Tito Vezio Zapparoli. Executou o programa de cria\u00e7\u00e3o e experimenta\u00e7\u00e3o dos h\u00edbridos de milho ([[1948]] - [[1953]]) a partir dos h\u00edbridos americanos introduzidos em [[It\u00e1lia]] imediatamente ap\u00f3s da [[Segunda Guerra Mundial]]. Ao mesmo tempo, lan\u00e7ou o programa da recolha e caracteriza\u00e7\u00e3o produtiva, morfol\u00f3gica e gen\u00e9tica das amostras de sementes de variedades tradicionais [[It\u00e1lia]]nas de [[milho]] ([[1954]] - [[1955]]) e intensificou o programa pela constitui\u00e7\u00e3o das linhas puras (\u201cinbred\u201d) selecionadas a partir das variedades [[It\u00e1lia]]nas ou de suas combina\u00e7\u00f5es com linhas americanas, coordenado por seu aluno [[Aureliano Brandolini]].\n\nEm [[1968]] tornou-se o primeiro diretor do Instituto experimental da silvicultura e pastagens de montanha de [[Trento]], o que dirigiu at\u00e9 [[1974]].\n\nLuigi Fenaroli teve uma intensa atividade docente. No in\u00edcio da sua carreira foi assistente na Faculdade de Ci\u00eancias Agr\u00e1rias da \"Universit\u00e0 degli Studi di Milano\" e chefe da c\u00e1tedra itinerante de agricultura de Iseo. Mais tarde ensinou [[silvicultura]] tropical no \"Istituto Agron\u00f4mica Colonial\" (agora \u201cInstituto agron\u00f4mico do ultramar\u201d) de [[Floren\u00e7a]] e [[Agricultura]] tropical e sub-tropical na Faculdade de Agr\u00e1ria da \"Universit\u00e0 degli Studi di [[Milano]]\".\n\nEle ensinou tamb\u00e9m [[bot\u00e2nica]] sistem\u00e1tica e [[fitogeografia]] [[florestal]] e pastagens de montanha na \"Universit\u00e0 degli Studi di Milano\" e na \u201cUniversit\u00e0 del Sacro Cuore\u201d de [[Plac\u00eancia]].\n\nFoi convidado para interc\u00e2mbios de estudos de [[gen\u00e9tica]] pelas Universidades de v\u00e1rios pa\u00edses. Em [[1946]] foi nos [[EUA]] ([[Illinois]]) para uns estudos sobre o melhoramento gen\u00e9tico do [[milho]] e em [[1964]] foi convidado para desenhar programas de estudos de melhoramento gen\u00e9tico da [[batata]] pelo [[Canad\u00e1 | Governo do Canad\u00e1]]. Foi tamb\u00e9m em [[Egito]] e [[Jap\u00e3o]] para congressos e confer\u00eancias.\n\nA sua intensa actividade cient\u00edfica \u00e9 atestada pelas suas 275 publica\u00e7\u00f5es que tratam [[fitogeografia]], [[Bot\u00e2nica]] sistem\u00e1tica e bot\u00e2nica florestal, n\u00e3o esquecendo umas obras floro-paisag\u00edsticas e da protec\u00e7\u00e3o da natureza. V\u00e1rios destes trabalhos lidam com o estudo do areal de \"endemismos\" na regi\u00e3o \"Insubria\" em [[It\u00e1lia]] do Norte. Ele cuntribuiu com artigos a umas revistas de florestas e de montanha.\n\nPublicou os seguintes trabalhos cient\u00edficos:\n* \u201cIl larice nelle Alpi orientali italiane\u201d ([[1936]]), que ganhou o pr\u00eamio nacional da \"Accademia d\u2019Italia\",\n* \u201cL\u2019ambiente fisico-agrario dei paesi caldi\u201d ([[1943]]),\n* \u201cLe Palme e la loro utilizzazione\u201d ([[1945]]),\n* \u201cIl castagno \u00bb ([[1946]]),\n* \u201cIl genere Populus \u00bb (trad. [[1946]]),\n* \u201cLa flora delle Alpi pubblicas\u201d pelo editor Martello nos anos de [[1956]] a [[1976]],\n* \u201cI Carex d\u2019Italia\u201d ([[1951]]),\n* \u201cIl genere Styzolobium\u201d ([[1952]]),\n* \u201cLa vegetazione e flora delle prealpi lombarde\u201d,\n* el \u201cCatalogus\u201d e os 4 \u201cProdromos\u201d da \u201cFlora Garganica\u201d ([[1966]]-[[1975]]).\n\nSeu legado cient\u00edfico compreende um vasto arquivo fotogr\u00e1fico e a cria\u00e7\u00e3o do jardim bot\u00e2nico de [[Tavernola Bergamasca]] nas margens do [[Lago]] de Iseo, onde ficam plantas e culturas ex\u00f3ticas.\n\n== Reconhecimentos ==\n\nLuigi Fenaroli era um membro de:\n* \"Academia Colombiana de ciencias exactas, fisioqu\u00edmicas y naturales\u201d de [[Santa F\u00e9 de Bogot\u00e1]],\n* \u201cInstituto Ecuadoriano de ciencias naturales\u201d de [[Quito]],\n* \u201cSociet\u00e0 di scienze naturali del Trentino-Alto Adige\u201d de [[Trento]],\n* \u201cAtenei di scienze, arti e lettere\u201d de [[Brescia]] e de [[Bergamo]],\n* \u201cAccademia nazionale di agricoltura de [[Bononia]],\n* \"Accademia italiana di scienze forestali\" de [[Floren\u00e7a]].\n\n== Ver tamb\u00e9m ==\n* [[arboricultura]]\n* [[Aureliano Brandolini]]\n* [[bot\u00e2nica]]\n* [[milho]]\n* [[silvicultura]]\n\n== Bibliografia ==\n* ''Luigi Fenaroli: botanico, fitogeografo, maiscultore ([[1899]]-[[1980]])'', Acta da reuni\u00e3o do [[10 de outubro]] [[2005]] organizado na \"Universit\u00e0 degli studi di [[Bergamo]]\", por Giorgio V. Brandolini, [[Bergamo]] [[2006]]\n\n{{Portal|biografias|Bot\u00e1nica}}\n{{DEFAULTSORT:Fenaroli, Luigi}}\n[[Categoria:Bot\u00e2nicos da It\u00e1lia]]\n[[Categoria:Naturais de Mil\u00e3o]]"}]},"1113882":{"pageid":1113882,"ns":0,"title":"Fun\u00e7\u00e3o divisor","revisions":[{"contentformat":"text/x-wiki","contentmodel":"wikitext","*":"Em [[matem\u00e1tica]], especialmente na [[teoria dos n\u00fameros]] e na [[teoria anal\u00edtica dos n\u00fameros]], uma '''fun\u00e7\u00e3o divisor''', mais apropriadamente chamada '''fun\u00e7\u00e3o soma dos divisores''', \u00e9 uma [[fun\u00e7\u00e3o aritm\u00e9tica]] que associa a cada [[n\u00famero natural]] ''n'' a soma das ''k''-\u00e9simas pot\u00eancias de seus [[divisor]]es inteiros positivos, onde ''k'' \u00e9 um [[n\u00famero complexo]] (na [[teoria dos n\u00fameros]] cl\u00e1ssica o expoente \u00e9 geralmente um [[n\u00famero inteiro]]). Quando o expoente ''k'' \u00e9 nulo, a fun\u00e7\u00e3o retorna a contagem de divisores positivos de ''n''. Denotada pela letra grega \\sigma (sigma), ela est\u00e1 presente em v\u00e1rias rela\u00e7\u00f5es, incluindo a [[fun\u00e7\u00e3o zeta de Riemann]] e a [[s\u00e9rie de Eisenstein]] de uma [[forma modular]]. Essas fun\u00e7\u00f5es foram bastante estudadas por [[Srinivasa Ramanujan]], matem\u00e1tico indiano respons\u00e1vel por um grande n\u00famero de congru\u00eancias e identidades a elas referentes.\n\n==Defini\u00e7\u00e3o==\n\nUma fun\u00e7\u00e3o divisor \u00e9 definida como uma regra que associa a uma vari\u00e1vel natural ''n'' a soma das ''k''-\u00e9simas pot\u00eancias (complexas) dos divisores ''d'' (naturais) de ''n''. Dessa forma, pode-se expressar:\n\n:\\sigma_{k}(n)=\\sum_{d|n} d^k\\,\\! .\n\nAs nota\u00e7\u00f5es d(''n''), \\nu(''n'') e \\tau(''n'') tamb\u00e9m s\u00e3o utilizadas para denotar \\sigma_0(''n''), particularmente denominada de '''fun\u00e7\u00e3o n\u00famero-de-divisores'''{{harvtxt|Long|1972|p=46}}{{harvtxt|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=63}} {{OEIS|id=A000005}}, indicando a quantidade de divisores inteiros positivos de ''n''. Dessa maneira, o expoente ''k'' dos divisores de ''n'' na express\u00e3o acima \u00e9 igual a zero e assim tem-se\n\n:\\sigma_0(n)=\\sum_{d|n} d^0=\\sum_{d|n} 1=\\tau(n)\\ .\n\nQuando o expoente ''k'' \u00e9 igual a 1, a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 chamada '''fun\u00e7\u00e3o soma-dos-divisores''' e o \u00edndice \"1\" \u00e9 geralmente omitido. Como o pr\u00f3prio nome informa, \\sigma(''n'') associa ao inteiro ''n'' a soma de seus divisores naturais, de forma que\n\n:\\sigma_{1}(n)=\\sigma(n)=\\sum_{d|n} d\\ .\n\nDefine-se ainda uma fun\u00e7\u00e3o - denotada por s(''n'') - que associa ao natural ''n'' a soma de seus divisores pr\u00f3prios, o que exclui o pr\u00f3prio ''n''. Subsequentemente pode-se escrever\n\n: s(n) = \\sigma(n) - n .\n\nApesar da maneira aparentemente simples de definir a fun\u00e7\u00e3o, o c\u00e1lculo do seu valor pode ser uma tarefa muito trabalhosa, conforme seja grande o valor de ''n'' (posto que se faz necess\u00e1rio conhecer seus divisores) ou na hip\u00f3tese de serem usados expoentes complexos.\n\n=== Exemplos ===\n\n* \\sigma_0(30) fornece o n\u00famero de divisores inteiros positivos de 30:\n\n:\n\\begin{align}\n\\sigma_{0}(30) & = 1^0 + 2^0 + 3^0 + 5^0 + 6^0 + 10^0 + 15^0+ 30^0 \\\\\n& = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8\n\\end{align}\n\n\n* \\sigma(30) \u00e9 a soma dos divisores de 30:\n\n:\n\\begin{align}\n\\sigma_{1}(30) & = 1^1 + 2^1 + 3^1 + 5^1 + 6^1 + 10^1 + 15^1 + 30^1 \\\\\n& = 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 + 30 = 72\n\\end{align}\n\n\n* \\sigma_{-1}(30) \u00e9 a soma dos inversos dos divisores de 30:\n\n:\n\\begin{align}\n\\sigma_{-1}(30) & = 1^{-1} + 2^{-1} + 3^{-1} + 5^{-1} + 6^{-1} + 10^{-1} + 15^{-1} + 30^{-1} \\\\\n& = 1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{5} + \\frac{1}{6} + \\frac{1}{10} + \\frac{1}{15} + \\frac{1}{30} = \\frac{12}{5}\n\\end{align}\n\n\n==Propriedades==\n\nDa defini\u00e7\u00e3o pode-se constatar facilmente que:\n\n: \\sigma(n) = 1 \\Leftrightarrow n = 1, pois 1 \u00e9 o \u00fanico divisor natural de 1, e;\n\n: \\sigma(n) \\ge 1 + n \\Leftrightarrow n \\ge 1, pois existem pelo menos dois divisores de ''n'', a saber, 1 e o pr\u00f3prio ''n''.\n\nAl\u00e9m disso, na desigualdade acima verifica-se tamb\u00e9m facilmente que:\n\n* se ''n'' \u00e9 um [[n\u00famero primo]] ent\u00e3o existem apenas dois divisores inteiros positivos: 1 e ''n''. Portanto\n\n: \\sigma(n) = 1 + n para todo ''n'' primo;\n\n* se ''n'' \u00e9 um [[n\u00famero composto]] ent\u00e3o existem inteiros ''a'' e ''b'', '''relativamente primos''' (isto \u00e9, [[mdc]](''a'',''b'') = 1), tais que ''n'' = ''ab'', de forma que pelo menos 1, ''a'', ''b'' e ''a b'' s\u00e3o divisores positivos de ''n''. Logo\n\n: \\sigma(n) > 1 + n para todo ''n'' composto.\n\nPara determinar precisamente o valor de \\sigma(''n'') para ''n'' composto, faz-se necess\u00e1rio representar ''n'' por sua decomposi\u00e7\u00e3o prim\u00e1ria (em fatores primos), o que \u00e9 visto a partir de agora.\n\n===Pot\u00eancias de primos===\n\nSuponha que ''n'' = ''pa'' com ''p'' primo e ''a'' > 1 expoente natural. Ent\u00e3o todos os divisores positivos de ''n'' est\u00e3o evidentemente no conjunto {1, ''p'', ...,''pa''}, formado por 1 e pelos m\u00faltiplos de ''p'' com expoentes inteiros menores do que ou igual a ''a''. Dessa maneira, tem-se\n\n:\n\\begin{align}\n\\sigma(p^a) = \\sum_{i=0} ^{a} p^{i} = 1 + p + ... + p^a\n\\ = \\frac{p^{a+1} - 1}{p - 1}\n\\end{align}\n\n\nTomando arbitrariamente um \u00edndice ''k'' n\u00e3o nulo, para o mesmo natural ''n'' = ''pa'' (''p'' primo e expoente natural ''a'' > 1), segue-se o racioc\u00ednio anterior. Assim, geralizando o c\u00e1lculo de \\sigma_k(''n'') com ''k'' \u2260 0, tem-se\n\n:\n\\begin{align}\n\\sigma_k(p^a) = \\sum_{i=0} ^{a} p^{i k} = 1 + p^k + ... + p^{ak}\n\\ = \\frac{p^{(a+1)k} - 1}{p^k - 1}\n\\end{align}\n\n\nComo visto acima, se ''n'' = ''pa'' ent\u00e3o ''n'' possui ''a'' + 1 divisores positivos distintos (1, ''p'', ..., ''pa''). Este \u00e9 exatamente o valor obtido ao se fazer ''k'' = 0 na fun\u00e7\u00e3o \\sigma_k:\n\n: \\tau(n) = \\sigma_0(p^a) = \\sum_{i=0} ^{a} p^{0} = \\sum_{i=0} ^{a} 1 = a + 1\n\n====Exemplos====\n\n* \\sigma(3) = \\sigma(3^1) = \\frac{3^2 - 1}{3 - 1} = \\frac{8}{2} = 4 \n\n* \\sigma_2(625) = \\sigma_2(5^4) = \\frac{5^{10} - 1}{5^2 - 1} = \\frac{9765624}{24} = 406901 \n\n* \\sigma_{-1}(1024) = \\sigma_{-1}(2^{10}) = \\frac{2^{-11} - 1}{2^{-1} - 1} = \\frac{2^{11} - 1}{2^{10}} = \\frac{2047}{1024} \n\n===Fun\u00e7\u00f5es multiplicativas===\n\nA fun\u00e7\u00e3o \\sigma_k \u00e9 uma [[fun\u00e7\u00e3o multiplicativa]], pois se ''m'' e ''n'' s\u00e3o '''primos relativos''', isto \u00e9, se ''mdc''(''m'',''n'') = 1, ent\u00e3o \\sigma_k(''mn'') = \\sigma_k(''m'') \\sigma_k(''n''). Uma fun\u00e7\u00e3o para a qual este produto vale para quaisquer naturais ''m'' e ''n'' (n\u00e3o apenas primos relativos) \u00e9 chamada de '''completamente multiplicativa''', o que n\u00e3o \u00e9 o caso de \\sigma. Para compreender isto, tomem-se por exemplo primos distintos ''p'' e ''q''. Logo os divisores do produto ''p q'' s\u00e3o: 1, ''p'', ''q'' e ''pq'', de forma que\n\n: \\sigma(pq) = 1 + p + q + pq = ( 1 + p ) \\cdot ( 1 + q ) = \\sigma(p) \\cdot \\sigma(q).\n\nConsidere-se agora que ''q''=''q''1''q''2 \u00e9 um [[n\u00famero composto]] relativamente primo com ''p'', com ''q''1 e ''q''2 tamb\u00e9m primos relativos. Segue da\u00ed que\n\n: \\sigma(pq) = \\sigma(p) \\cdot \\sigma(q) = \\sigma(p) \\cdot \\sigma(q_1) \\cdot \\sigma(q_2) .\n\nO racioc\u00ednio aqui descrito sustenta fundamenta o teorema de generaliza\u00e7\u00e3o dado a seguir, cuja demonstra\u00e7\u00e3o pode ser feita por [[indu\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica]] (ou [[indu\u00e7\u00e3o finita]]).\n\n===Generaliza\u00e7\u00e3o===\n\nSejam os primos ''p''1, ''p''2, ..., ''p''''m'' e os expoentes ''a''1, ''a''2, ...''a''m tais que ''n'' = ''p''1a1 ''p''2a2 ... ''p''mam (tal decomposi\u00e7\u00e3o prim\u00e1ria tem exist\u00eancia e unicidade garantidas pelo [[teorema fundamental da aritm\u00e9tica]]). Nessas condi\u00e7\u00f5es, aplicando a cada pot\u00eancia de primo fator de ''n'' a express\u00e3o anteriormente obtida, e considerando que \\sigma \u00e9 uma [[fun\u00e7\u00e3o multiplicativa]], pode-se escrever\n\n:\n\\begin{align}\n\\sigma_k(n) & = \\sigma_k \\left( \\prod_{j=1} ^{m} p_j ^{a_j} \\right)\n\\ = \\prod_{j=1} ^{m} \\sigma_k (p_j ^{a_j})\n\\end{align}\n, se '''''k'' \u2260 0''', e\n\n:\n\\begin{align}\n\\sigma_0(n) & = \\sigma_0 \\left( \\prod_{j=1} ^{m} p_j ^{a_j} \\right)\n\\ = \\prod_{j=1} ^{m} \\sigma_0 (p_j ^{a_j})\n\\ = \\prod_{j=1} ^{m} (1 + a_j)\n\\end{align}\n, se '''''k'' = 0'''.\n\n====Exemplos====\n\n* \\sigma(6) = \\sigma(2) \\sigma(3) = \\frac{2^2 - 1}{2 - 1} \\cdot \\frac{3^2 - 1}{3 - 1} = 3 \\cdot \\frac{8}{2} = 12 \n\n* \\sigma(12) = \\sigma(2^2) \\sigma(3) = \\frac{2^3 - 1}{2 - 1} \\cdot \\frac{3^2 - 1}{3 - 1} = 7 \\cdot \\frac{8}{2} = 28 \n\n* \\sigma(28) = \\sigma(2^2) \\sigma(7) = \\frac{2^3 - 1}{2 - 1} \\cdot \\frac{7^2 - 1}{7 - 1} = 7 \\cdot \\frac{48}{6} = 56 \n\nUtilizando as express\u00f5es desenvolvidas anteriormente, e tomando-se a fun\u00e7\u00e3o \\omega que para cada inteiro ''n'' = ''p''1a1 ''p''2a2 ... ''p''mam n\u00e3o nulo associa a quantidade ''m'' de '''fatores primos distintos''' de ''n'' (logo \u03c9(''n'') = ''m''), obt\u00e9m-se a seguinte express\u00e3o para \\sigma_k com ''k'' \u2260 0:\n\n: \\sigma_k(n) = \\prod_{j=1} ^{\\omega(n)} \\frac{p_j ^{(a_{j}+1)k} - 1}{p_{j}^k - 1} = \\prod_{j=1} ^{\\omega(n)} p_j ^{a_j k} \\left( 1 + \\frac{1 - p_j ^{-a_j k}}{p_j ^k - 1} \\right) \n\n==N\u00fameros perfeitos==\n\nUm conceito pertinente aos n\u00fameros naturais, estudado desde a Gr\u00e9cia Antiga, \u00e9 o de '''abund\u00e2ncia'''. O uso da fun\u00e7\u00e3o \\sigma permite definir abreviadamente o seu significado, de forma que um natural ''n'' \u00e9 chamado:\n\n* '''abundante''', se \\sigma(''n'') > 2''n''\n\n* '''perfeito''', se \\sigma(''n'') = 2''n''\n\n* '''deficiente''', se \\sigma(''n'') < 2''n''\n\n=== Exemplos ===\n\n* 12 \u00e9 abundante, pois\n\n: \\sigma(12) = \\sigma(2^2) \\sigma(3) = 7 \\cdot 4 = 28.\n\n* 6 \u00e9 perfeito, visto que\n\n: \\sigma(6) = \\sigma(2) \\sigma(3) = 3 \\cdot 4 = 12.\n\n* 8 \u00e9 deficiente, porque\n\n: \\sigma(8) = \\sigma(2^3) = 15.\n\nTodo [[n\u00famero perfeito]] conhecido \u00e9 par e possui rela\u00e7\u00e3o estreita com algum [[primo de Mersenne]]. O mais antigo problema em aberto em toda a [[Matem\u00e1tica]], que remonta aos gregos cl\u00e1ssicos, consiste em provar a exist\u00eancia ou n\u00e3o de '''n\u00fameros perfeitos \u00edmpares'''. Tamb\u00e9m n\u00e3o se sabe ainda se a quantidade de n\u00fameros perfeitos pares \u00e9 finita ou n\u00e3o'''Santos, Jos\u00e9 P de O'''; ''Cole\u00e7\u00e3o Matem\u00e1tica Universit\u00e1ria: Introdu\u00e7\u00e3o \u00e0 Teoria dos N\u00fameros'', Rio de Janeiro: IMPA, 2006.\n\nOutra forma de verificar a abund\u00e2ncia de um [[n\u00famero natural]] \u00e9 pelo uso de \\sigma_{-1}. Afinal, conforme a defini\u00e7\u00e3o da fun\u00e7\u00e3o divisor com \u00edndice -1, para todo natural ''n'' tem-se\n\n: \\sigma_{-1} (n) = \\sum _{d | n} d ^{-1} = \\sum _{d | n} \\frac{1}{d} = \\frac{\\sum _{d | n} d}{n} = \\frac{\\sigma(n)}{n}\n\nConsequentemente, pode-se afirmar que\n\n* ''n'' \u00e9 '''abundante''' se \\sigma_{-1}(''n'') > 2\n\n* ''n'' \u00e9 '''perfeito''' se \\sigma_{-1}(''n'') = 2\n\n* ''n'' \u00e9 '''deficiente''' se \\sigma_{-1}(''n'') < 2\n\n==Custo aritm\u00e9tico==\n\nInteressa \u00e0queles que de fato aplicam as fun\u00e7\u00f5es em c\u00e1lculos estimar o esfor\u00e7o necess\u00e1rio para computar os seus valores, o que \u00e9 medido pelo n\u00famero de opera\u00e7\u00f5es efetuadas. Nesse sentido, da f\u00f3rmula de \\sigma(n) decorre'''Martinez, Fabio Brochero, et al''';''Projeto Euclides: Teoria dos N\u00fameros. Um passeio com primos e outros n\u00fameros familiares pelo mundo inteiro'', Rio de Janeiro: IMPA, 2010 que\n\n: n \\prod _{j=1} ^{k} \\left( 1 + \\frac{1}{p_j} \\right) \\le \\sigma(n) < n \\prod _{j=1} ^{k} \\frac{p_j}{p_j - 1}\n\nDa\u00ed, utilizando a express\u00e3o de \\varphi ([[fun\u00e7\u00e3o totiente de Euler]]), tem-se\n\n: \\prod_{j=1}^k \\left( 1 - \\frac{1}{p_j^2} \\right) = \\prod_{j=1}^k \\left( 1 + \\frac{1}{p_j} \\right) \\left( 1 - \\frac{1}{p_j} \\right) \\le \\frac{\\varphi(n)\\sigma(n)}{n^2} < 1 \n\nAl\u00e9m disso, uma vez que\n\n: \\prod _{p \\, primo} \\frac{1}{1 - \\frac{1}{p^2}} = \\prod \\left( 1 + \\frac{1}{p^2} + \\frac{1}{p^4} + ... \\right) = \\sum _{k=1} ^{infty} \\frac{1}{k^2} = \\frac{\\pi ^2}{6} ,\n\ne tamb\u00e9m como\n\n:0 < {\\underline{\\lim}}_{n \\to \\infty} \\, \\frac{\\varphi(n) \\, log \\, log \\, n}{n} < + \\infty    (vide [[fun\u00e7\u00e3o totiente de Euler]]),\n\nsubsequentemente \u00e9 certo que\n\n: 0 < \\overline{\\lim_{n \\to \\infty}} \\, \\frac{\\sigma(n)}{n \\, log \\, log \\, n} < + \\infty.\n\n==Rela\u00e7\u00e3o com outras fun\u00e7\u00f5es==\n\nConsiderando a fun\u00e7\u00e3o \\varphi ([[fun\u00e7\u00e3o totiente de Euler]]) e a fun\u00e7\u00e3o \\zeta ([[fun\u00e7\u00e3o zeta]] de [[Bernhard Riemann|Riemann]]), pode-se provar as rela\u00e7oes seguintes, em que constam a fun\u00e7\u00e3o divisor, desde que o [[n\u00famero complexo|complexo]] ''s'' seja tal que |''s''| > 1:\n\n* Na [[s\u00e9rie de Dirichlet]] dada por\n\n:\\sum_{n=1}^\\infty \\frac{\\sigma_{a}(n)}{n^s} = \\zeta(s) \\zeta(s-a),\n\nem que \\sigma(''n'') \u00e9 tal que\n\n:\\sum_{n=1}^\\infty \\frac{\\sigma_0(n)}{n^s} = \\zeta^2(s).\n\n* Na [[s\u00e9rie de Dirichlet]] definida como\n\n:\\sum_{n=1}^\\infty \\frac{\\sigma_a(n)\\sigma_b(n)}{n^s} = \\frac{\\zeta(s) \\zeta(s-a) \\zeta(s-b) \\zeta(s-a-b)}{\\zeta(2s-a-b)}.\n\n* Na [[s\u00e9rie de Lambert]] para um [[n\u00famero complexo]] arbitr\u00e1rio ''q'', tal que |''q''| \u2264 1 e um [[n\u00famero inteiro]] arbitr\u00e1rio  ''a''\n\n:\\sum_{n=1}^\\infty q^n \\sigma_a(n) = \\sum_{n=1}^\\infty \\frac{n^a q^n}{1-q^n}.\n\nEsta soma aparece tamb\u00e9m na [[s\u00e9rie de Fourier]] da [[s\u00e9rie de Eisenstein]] e como invariantes das [[fun\u00e7\u00f5es el\u00edpticas de Weierstrass]].\n\n==Liga\u00e7\u00f5es externas==\n* [http://mathworld.wolfram.com/DivisorFunction.html Divisor Function] (em [[L\u00edngua inglesa|ingl\u00eas]]) em ''Wolfram Mathworld, the web's most extensive mathematics resource''\n\n{{Refer\u00eancias}}\n\n{{fun\u00e7\u00f5es}}\n{{Portal3|Matem\u00e1tica}}\n\n[[Categoria:Fun\u00e7\u00f5es aritm\u00e9ticas]]\n[[Categoria:Fun\u00e7\u00f5es matem\u00e1ticas|Divisor]]\n[[de:Teilersumme]]\n[[hu:Oszt\u00f3\u00f6sszeg-f\u00fcggv\u00e9ny]]\n[[pl:Funkcja \u03c3]]"}],"images":[{"ns":6,"title":"Ficheiro:Cubicpoly.svg"},{"ns":6,"title":"Ficheiro:Nuvola apps edu mathematics-p.svg"}]}}}}